物理新知–生物學中的混沌
文﹕謝文志   王永雄    翻譯﹕湯兆昇

混沌是一個物理學的觀念。生物學中的混沌這個題目,把物理和生物連繫在一起,聽起來很有趣。在我們討論生物之前,先來簡單地看看混沌是甚麼。

大家都相信,如果已知一個粒子的初始位置和速度,便可以很容易地預測它在未來任何一刻的位置和速度。我們有這信念,是因為牛頓的運動定律能精確地告訴我們粒子如何運動。只要我們寫下所需的方程,自然可得到答案。但現實並不如我們想像那麼簡單。試想像以下的實驗。在實驗中,我們讓一小片紙從一個固定的位置下跌十次,並記錄它落地的位置。實驗後,我們記錄了十個位置。這十個位置相同嗎?很可能不同!為甚麼呢?有很多原因!紙張的初始位置即使有很輕微的移動,也可能使它落地的位置有很大的改變。一陣微風吹來也可能大大改變了紙張的運動路徑。紙張落地的位置很難預測,是因為紙張下跌的過程敏感地受許多因素影響。即使我們很精確地知道初始條件,也很難預測紙張在一段長時間後的運動。一般來說,當混沌在一個系統出現時,我們便無法預測它的長期變化。另一個常見的混沌例子是煙微粒的運動。我們可以很容易地預測穿梭機的軌跡,但卻很難預測穿梭機所噴出的一個煙微粒的運動。

讓我們再數量化一點地研究混沌的概念。考慮一序列的數字﹕1, 2, 3, 4, 5, … 第一千個數字是甚麼?你可能會猜是1000。答對了!除了第一個數字以外,每個數字都隱含著同一個規律,就是它比前一個數字大一。把這個規律重覆應用很多次,我們便可以預測第一千個數字是1000。再考慮一個例子﹕1/2, 2/3, 3/4, 4/5, …第一百個數字是甚麼?我想你可以看到分子及分母都有同一規律。不難猜想,第一百個數字就是100/101。在上述這兩個例子裡,我們很容易便可以決定序列的長期變化,因此我們會說這裡沒有混沌。現在讓我們考慮這個序列﹕0.1, 0.342, 0.855, 0.471, ... 第十個數字是甚麼?你猜得出嗎?不能?讓我們看看第五至第九個數字﹕0.947, 0.192, 0.589, 0.920。現在你猜得出第十個數字了嗎? 由於我們實在很難找出它背後的規律,因此就無法估計第十個數字是甚麼,更不用說要預測它的長期變化了。這序列表現了混沌的特性。

相信嗎?這個混沌的序列是由這簡單的公式產生的﹕
  (1)

其中是一個在 0 和 4 之間的常數。

  1. ,如果我們選 然後用方程 (1) 反覆迭代,便會產生以下的序列﹕0.1, 0.135, 0.175, 0.217, 0.255, … 圖一表示了計算的結果。曲線沒有表現突變。我們可以很容易看出序列的長期變化。它趨向於一個穩定值。這序列沒有混沌。
    圖一  當 時,作圖。
    圖二 當時,作圖。

  2. ,如果我們再次選 ,便會得到另一個序列。結果如圖二所示。雖然曲線呈現跳動,但我們並不會說這就是混沌,因為序列的長期變化也很明顯,只是較為複雜而已。長期來說,在兩個穩定的值之間來回跳動。

  3. ,序列沒有任何趨向。這便是混沌。
    圖三 當時,作圖。
在上述的例子裡,我們只是求得了某些值所得出的結果。事實上,物理學家總括了所有不同值的結果。

序例趨向於一個穩定值
序例在一些穩定的值之間來回跳動
序例顯示混沌的特性

那麼方程 (1) 與生物又有何關係?生物學家相信,在一定程度上,用方程 (1) 產生的序例可以用來描述某種病毒在不同世代的數量,即是第代的數量,而則是第代的數量,如此類推。根據這種推論,當時,此品種的數量趨向於一穩定值。尤其當數量的穩定值是零時,這品種便將會絕種。當時,這品種的數量在幾個穩定值之間來回跳動。當,這品種的數量像在不規則地變化。按照這個看法,混沌生態學家發現,一些病毒數量的不規則變化可以用方程 (1) 在 大於3.570的情況來描述。

讀者可能會認為上述的情況被過份簡化了。品種數量的增加是一個複雜的過程,豈能用簡單的方程 (1) 來表示?事實上,混沌生態學家發現對某些病毒來說,品種的數量主要是從上一代的數量決定的。這說法是有道理的。一個數量過多的品種會因為食物短缺而減少,這是很自然的事。另一方面,如果病毒的數量過少,它們的數量亦會因為食物充裕而增加。

但是,在自然界裡, 品種的數量往往由多於一個因素決定。方程 (1) 就不可用來描述這些複雜的情況了。生物學家需要使用擁有多個變量的複雜方程。除了一個變量,新的方程可能包括代表另外一個品種數量的變量,與及其他變量。

參考書目﹕
  1. 梁美靈及王則柯, 《混沌與均衡縱橫談》(中華書局部, 1990)。
  2. J. Yorke and T. Y. Li, “Period three implies chaos”, American Mathematics, No. 82, 985-992 (1975).
  3. 利昂.格拉斯及邁克爾.C.麥基,《從鐘擺到混沌 — 生命的節律》(上海遠東出版社, 1994)。