物理新知–凱撒大帝的最後一口氣
文﹕湯兆昇   許伯銘

引子

費米
費米

費米 (Enrico Fermi, 1901-1954) 是近代一位非常著名的物理學家。在他領導下,人類製造了第一枚原子彈,也成功產生受控熱核反應,把世界帶進原子能的時代。他生平有趣的事蹟很多,而其中最為人樂道的是他對物理問題作數量級估計的能力。據說費米在世上第一枚原子彈試爆時,在離現場很遠的地方撒下紙碎,然後觀察紙碎受空氣壓力衝擊後漂移的距離,經過數分鐘心算後,估計出核爆的威力約相當於數萬噸工業炸藥。這與精密儀器數星期後分析得到的結果在數量級上相若,使和他合作的研究人員十分驚訝。

問題

費米很喜歡用一些簡化了的問題去啟發學生對物理問題的估計能力。其中一個有趣的問題是「你每吸入一口氣時,究竟吸入了多少凱撒大帝臨死前呼出最後一口氣的氣體分子?」為了簡化問題,我們可以假設凱撒臨死前呼出的空氣分子均勻擴散至整個大氣層,而這些分子數千年來並沒有被海洋或植物等吸收。雖然這些都是不太合理的假設,但可以幫助我們暫時從過於複雜的現實世界跳出來,用最簡單的模式作基本的估計。為了方便大家計算,我們提供以下的提的提示和資料:

提示

首先估計呼出一口氣的體積與整個地球大氣層體積的比例 (為簡單起見,可以假設所有氣體皆非常均勻地分佈於地球表面上一層高度為五十公里的殼層)。由此可推算出每呼吸一次吸入了多少凱撒呼出的氣體體積,最後以大氣的密度及每個空氣分子的平均質量估計當中的分子數。



參考資料The Fermi Solution, Hans Christian von Baeyer

答案

先估計地球大氣層的體積 V。由於大氣層的厚度遠小於地球半徑,因此


人每呼吸一口氣的體積 約為一公升,即 。假設凱撒大帝呼出最後一口氣的氣體分子均勻分佈於大氣層內,則我們每吸一口氣,吸入了凱撒大帝呼出的氣體體積 約為


地球大氣的主要成分為氮,其次為氧。由於氮和氧的分子量相差不遠,我們衹用氮作估計。每個氮分子有兩個原子,每個原子有 7 粒質子,7 粒中子。忽略電子的質量,一個氮分子的質量約為



因此每口氣吸入了凱撒大帝呼出的氣體分子數約為


即平均每吸入一口氣,便吸入了凱撒大帝臨死前呼出的一個氣體分子。

後記

可能有些同學會注意到我在計算過程中袛取一個有效數字。可以告訴你,我在整個計算過程中並沒有使用計算機。在你們的來信中我注意到有些同學嘗試作出很準確的計算,甚至對空氣的成份作詳細的分析。其實這些都是不必要的,因為在許多簡化問題的假設限制下 (例如我們假設空氣的密度是均勻的,這當然是不正確的),無論怎樣計算也不可能得出準確的答案。事實上,「費米問題」的精神在於訓練我們在缺乏足夠資料與計算技巧時,對問題作出一個非常粗略但在數量級上尚算可靠的估計。試想想,當世上第一個原子彈試爆時,費米手上並沒有計算機或精密的儀器,他的魅力衹來自幾片紙碎和豐富的想像力而已!