物理新知–甚麼是「混沌」?
文﹕張啟聰    

混沌是否只代表一片混亂,毫無秩序?這並不是混沌在物理上的真正解釋。其實混沌是指某些物理系統的演化模式。一個世紀以前,人們認為任何物理系統都只有兩種演化的可能性。第一種是週期性的運動,例如地球繞太陽公轉,週而復始;第二種便是最後會演化至穩定狀態的系統,例如你把一個皮球拋下,它便會在地面上反彈很多次,但由於在碰撞中損失能量,又受到空氣阻力的影響,它最後始終會停下來。直至二十世紀,才有人提出混沌這種截然不同的演化模式。混沌系統既不是週期性的,又不會演化至穩定的狀態。你可能會認為混沌的系統一定很複雜,但其實一個很簡單的數學例子便可以為你解釋混沌。

讓我們以 2x^2-1 這條簡單的數式出發。如果你把當中的 代入 0 至 1 之間任何一個數字,然後把所得的結果再次代入式子中的 x 計算,不斷重複,便會得出一大堆看似雜亂無章的數字 (計算以 X=0.6 開始)。圖一顯示了結果,當中橫軸代表計算的次數,縱軸代表數值。這堆數字看起來好像毫無規則,無法預測,它既不是週期性的,亦不會趨向一個特定的數值,但事實上它是根據一條數式計算出來的,絕對不是一些隨機的數字。更有趣的是,如果你把起始的數值由 0.6 改為 0.6001,這些數字便會有截然不同的變化。圖二中藍色和粉紅色的線分別代表起始數值是 0.6 和 0.6001 的計算結果。在開始的時候,兩組數字十分接近,但到了第十個數字之後,分別就越來越大,到了後面更是南轅北轍,看似是毫無聯繫。

初始值 x = 0.6 的計算結果
圖一  以 x = 0.6 代入 2x2-1,然後以所得的結果不停重複迭代,便得出一系列數字。

比較初始值 x = 0.6  和 x = 0.6001 的計算結果
圖二  比較初始值 x = 0.6 (藍線) 和 x = 0.6001 (粉紅線) 所得出的計算結果。

上述例子說明了經典混沌系統兩個十分重要的特性﹕(1) 系統的變化驟看似是毫無規則,但實際上是由物理定律所決定的。(2) 系統的演化對初始條件的選取非常敏感,初始條件極微小的分別 (就例如 0.6 和 0.6001 只相差六千分之一!),在一段時間的演化後也可帶來南轅北轍的結果。眾所周知,要預測一個系統的未來,除了要知道它背後的物理法則外,還要知道初始條件。可是,我們在量度一個系統的初始狀態時總會引入一些誤差。在混沌系統中,不管這些誤差開始時如何細小,在一段時間後,它也會不斷擴大,使系統的真實狀況和我們的預測相距極遠。混沌系統這種獨有的特性,使我們幾乎無法預測它的未來。

混沌系統的發現給予我們很大的啟示。從前科學家們沒有想到,千分之一或更少的初始數值改變可以為系統的演化帶來完全不同的結果。天氣預測就是最佳的例子,天氣的改變牽涉到許多變數,例如溫度、氣壓、風向等等,每一個變數都不可能測得極之準確,只會是一個近似值。但是支配天氣的物理定律,例如流體力學的方程等就有混沌的特性,所以誤差便會隨時間不斷擴大,使預測天氣十分困難。事實上,我們身邊大部分的系統都處於混沌狀態,只是我們沒有留意吧了!例如六合彩,雖然每一次攪珠前數字球都是順序擺放的,但卻沒有人可以正確預測開彩的結果。這是因為攪珠受到很多初始條件的影響,例如數字球在管道中疊起來時總會有些傾側,它們的位置不可能每次都完全一樣,攪珠機每次的轉速也可能有微小的分別,空氣的濕度也可能影響球的黏性等。這些例子都告訴我們,混沌系統的演化與初始條件息息相關。