物理新知–魔術環
文﹕王永雄

引子

魔術環
圖一  魔術環

在一個魔術表演中,魔術師 Silverfield 請了兩位觀眾上台,並給他們兩個同樣大小的環。 Silverfield 請他們把手上的環隨意分為兩份,結果這兩個環便成了四個長短不一的圓弧。 Silverfield 不慌不忙的把每一個圓弧對稱地掛在棒上,然後向台下的觀眾說:「一會兒我便會施魔法,把靈風吹在這些圓弧上。雖然它們的長短不一,但我的靈風仍會使他們以同一頻率擺動。」 Silverfield 滿有信心的大喝一聲「呵哈」,並揮動他的大袖。大袖的風把圓弧吹動了!圓弧果然以同一頻率擺動,好像彼此之間有默契似的。台下觀眾熱烈鼓掌!雖然站在興奮的人群中,物理學家 Dr. Witt 竟然完全不為所動。他冷靜地想了一會兒,便微笑了,心裡想:「 Silverfield 一定是個物理學高人。」

究竟 Dr. Witt 怎樣解釋這個魔術呢?

問題

考慮一個對稱於支點的擺動圓弧 (圖一)。設R為圓弧之曲率半徑, 為圓弧之對稱軸與地心吸力方向的夾角。
  1. 證明對所有不同長度但 R 相同的圓弧來說,圓弧擺動時, 隨時間變化的頻率都是一樣的。
  2. 究竟 隨時間變化的頻率跟甚麼有關?
兩個對稱的質點
圖二  兩個對稱的質點

圖三  

提示

  1. 考慮掛於無質量圓框上對稱於支點的兩質點 (圖二)。
  2. 任何圓弧都是質點之組合。

答案

我們先將魔術環分拆成很多對質點,並考慮其中的一對 (圖三),而為對稱於 並質量均為 的兩質點 。先定義:
  1. 魔術環的對稱軸 與重力方向之間的夾角為
  2. 均為
  3. (環的直徑) 的長度為
因為 是一直角三角形,而 ,我們容易求得 。於是兩質點環繞 的轉動慣量為

與重力方向之間的夾角分別為 ,因此重力作用於 的力矩為

其中 為重力加速度的大小,我們亦定義了反時針方向為正。從 的表達式,我們可知兩質點的擺動角加速度為

由於 無關,因此每對質點及至整個魔術環都有相同的 。從公式(*)我們可知魔術環的擺動頻率只與 有關。

溫故知新

  1. 為一直角三角形的原因:以圓形直徑及圓周上任何一點所形成的三角形必定為直角三角形。
  2. 的時候,我們應用了以下的三角函數公式:
  3. 你可能認為在公式(*)中, 必須假設為細小的角。其實這假設並非必要。公式(*)本身己告訴我們無論 有多大, 都只跟 有關。
  4. 於公式(*)中,我們若假設 為細小的角, 的解是簡單的三角函數。事實上,在一般的情況之下, 也是有解的,不過不再是大家熟識的三角函數,而是在大學課程裡才學到的橢圓積分。