物理新知–究竟山可以有多高?
文﹕湯兆昇   許伯銘

引子

威斯哥夫 (Victor Weisskopf) (1908-) (麻省理工學院) 是當代著名物理學家。他在核物理與量子電動力學領域上,做了很多重要的工作。在1960-1965年間,威斯哥夫擔任歐洲原子核研究所 (CERN)所長。每年暑假,CERN會安排一些當地的中學生前往參觀。威斯哥夫曾經作過一系列的普及講座,以中學生能理解的方法,深入淺出地講解近代物理的一些問題。其中威斯哥夫特別著重以基本物理知識作估計的手段。我們在這裡考慮他所提出的一個問題。

問題

世界第一高峰珠穆朗馬峰約高九千米。有否想過:為什麼地球上的最高的山峰不是十萬米或者更高、又不是一千米或者更低,而偏偏是一萬米的數量級呢?我們的問題就是:試按考慮能量的思路,粗略估計地球上的山峰可能達到的高度,並討論其它星體上 (例如火星) 山峰的高度。

提示

形狀簡化了的山
圖一   形狀簡化了的山。

為方便討論,我們先將山簡化為如圖的形狀。為什麼山不可以太高?山愈高愈重,而山太重則可能會下沉。山下沉高度會失去位能。按威斯哥夫的想法,這些釋放出的位能如足夠將部份石頭溶掉 (假設全部為組成),山便會繼續下沉。因此山的高度便可以從能量的考慮作估計。答案可通過下列的物理量表達及計算:

= 組成石頭的分子 () 中質子與中子的總數目
(質子質量 中子質量)
(地球表面重力加速度)

= 溶化石頭所需能量 (每分子計)每分子 0.3 eV


答案

設山的質量為,則山下沉了時所釋放的重力位能。設山的橫切面積為 , 石在溶解時每分子所吸收的潛熱為,每單位體積內的分子數為 。則使高度為的石層溶解所需的能量。山下沉了所釋放的位能必須少於溶解該層所需的能量,否則山便會繼續下沉,因此我們要求,或

(*)


接著,我們要計算山的質量與其高度的關係。設一個分子的質量為 ,在一個分子中質子與中子的總數為,質子的質量 中子的質量,則。因此

M= (山的體積) (每單位體積內的分子數) (分子的質量)
(**)

結合 (*) 及 (**),我們求得




我們知道 0.3 eV,矽原子的原子量為 28,氧為16,。以地球來說,




這與地球上最高山峰高度的數量級相符。火星表面的重力加速度約為地球的 38%,

    h < 13 km

火星上最高的火山為奧林匹斯山 (Olympus Mons),高約 25 km。

參考資料:G. Venkataraman 的科普著作 The Many Phases of Matter