物理新知–鞦韆的聯想
文﹕張啟聰 (資料來源:賴漢明教授)    

圖一  為甚麼鞦韆可以越盪越高?
 
你有見過小孩子不懂得如何盪鞦韆嗎?由於空氣阻力和磨擦力的影響,鞦韆會逐漸失去擺動的能量,擺動的幅度會減少。這時候,小孩子當然不高興了,他的爸爸便會站在後面推他一把。為了保持擺動的幅度不變,他的爸爸要輸入能量,以補充損失的能量。注意,他的爸爸不會胡亂地推小孩,而是週期性地推。假如推力的方向與速度的方向相同,輸入的能量會較多。如果時間配合得好,輸入的能量大於損失的能量,擺動的幅度便越來越大。雖然爸爸不用很大力推,但鞦韆也可以盪得很高。這便是簡單的共振現象。

共振現象是非常普遍的。在1831年的英國發生了一件事,一隊軍隊步伐整齊地操過一條吊橋。結果吊橋發生振盪,振幅越來越大,把士兵們都拋下吊橋!這是因為士兵們的步伐與吊橋的自然頻率十分接近,造成共振。日常生活中,我們所用的收音機也是基於電磁共振的原理。天文學中亦有不少的例子,例如小行星帶中的空隙、土星環內的細縫也可以由軌道週期共振的原理來解釋。

盪鞦韆時質心位置的變化
圖二  盪鞦韆時質心位置的變化。
 
讓我們繼續鞦韆的聯想吧。當小孩漸漸長大,他便會不滿足現狀,要自己學會如何盪鞦韆。請看看圖二,虛線表示小孩質心的路徑。為甚麼他可以越盪越高呢?當小孩盪到A點,他會將身體向上升。假設他的質心上升的距離是 ,而繩子的張力是 ,他便會做「正功」,為系統輸入了 那麼多能量。當他到了B點,他會將身體下降,使質心下跌,做了「負功」。如果繩子的張力是 ,系統所損失的能量便是 。他在 B 點的時候,速度為零,故 只是重力的分量 ( )。但是當他在 A 點的時候,速度最大,張力與重力之差等於向心力 () ,所以我們有 。因此,他所做的正功比負功大,為鞦韆輸入能量。正如他的爸爸在推一樣,有節奏地輸入能量,便會造成共振,使鞦韆能越盪越高。

有趣的「雙振子」
圖三  有趣的「雙振子」
 
最後,為大家介紹一個有趣的「雙振子」(圖三)。它由一條繩子、一條彈簧和一個鐵球所組成。繩子與彈簧相連,鐵球懸掛在彈簧之下,既可左右擺動,就像普通的單擺,也可隨著彈簧上下振動。假設左右擺動的自然頻率是 ,上下振動的自然頻率是 。如果我們適當地調較繩子的長度,使 的兩倍,然後把鐵球垂直地拉下少許,趣怪的事便會發生。初時,鐵球會上下振動,但過了一會兒,它便會大幅地左右擺動。再過一會,它又會回復原來的樣子,上下振動。如果空氣阻力很少,它便會週而復始很多次。這是一個「參量共振」的例子,在共振中能量在兩個振動模式之間不停轉換,是一個非線性的現象,你可以自己做一個來試試看!